题 目 有杆抽油系统的数学建模及诊断
摘 要
本文是一个研究有杆抽油系统的建模及诊断问题。
针对问题一，本文首先分析数据得到曲柄滑块四连杆机构的几何关系和满足的力学方程，第二，根据得到的规律，从简单到复杂，依次建立了三种模型：简谐运动模型、曲柄滑块机构模型、精确解模型，分别求得其位移函数、速度函数、加速度函数。第三，使用Matlab软件编程得到各个方程的计算结果，并画出函数曲线，作为各模型计算精度的对比。最后，根据已知悬点位移和三个模型求得的悬点位移，使用Origin画图，对比发现，三个模型得到的位移函数、速度函数差别不大，而加速度函数差别很大，且三个模型计算得到的位移与实际位移有一定误差，比实际位移大。
针对问题二，本文根据 Gibbs 波动方程，给出了由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程，并给出了计算流程图。计算采用分离变量法，将偏微分方程化为常微分方程求解，用边界条件的限制，得到位移和载荷的方程，然后用节点分析法求解。计算出第一级杆的数据后，重复利用之前的过程计算第二级、第三级杆，计算过程中需要判定是否是最后一级杆柱，若不是继续计算，若是计算出位移、载荷函数，最后得到井下示功图。然后使用 Matlab 软件编程进行计算，得到一级杆和多级杆的地面示功图和泵功图。由结果图线可以看出转换之后的泵功图曲线比地面示功图曲线更光滑，而且没有大的波动。说明吉布斯模型在计算泵功图的过程中，消除了一些动载荷的影响，但是模型并未详细考两种不同内径抽油杆在连接处的载荷变化。
针对问题三(1)，选择有效冲程模型和改进的液量迭代法模型，用问题二得到的泵功图进行产液量的计算，并用 Matlab 编制了一套根据泵功图计算产液量
的程序。在有效冲程模型中，首先对泵功图进行预处理，然后建立曲率计算模型确定阀门开闭点，得到有效冲程；在改进的液量迭代模型中，将传统的液量迭代模型与有效冲程相结合，用 Getdata 软件对泵功图进行预处理，并考虑漏失的影响，计算得到产液量。附件 1 和附件 2 用有效冲程法计算的产液量分别为 86.3115m3/s 和 31.6027m3/s；附件 1 和附件 2 用改进的液量迭代法计算的产液量分别为 89.7784m3/s 和 25.7963m3/s 。两个模型对比分析，得到改进的液量迭代模型比有效冲程模型更接近实际值。
针对问题三(2)，本文从新的角度提取泵功图特征：首先对泵功图进行预处理，并提取泵功图的直观几何特征。计算功图总面积并与标准功图面积对比， 然后分区域计算面积，按区域面积特征再对故障进行分类，最后再由曲率、拐点(固定阀游动阀的开启、关闭点)等特征细化故障类型，得出最终结论。根据本思路列方程及其边界条件，利用 Microsoft Visual Basic 6.0 编程计算，并根据判定条件进行自动诊断，本程序可以诊断出基本正常、严重漏失、供液不足和气体影响等情况，故障时报警提醒，使用简单方便。经计算机自动诊断，附件中给出的一级杆和三级杆均没有气体影响。
针对问题四(1)，Gibbs 方程的不足在于○1 抽油杆受力分析仅适用于直井○2使用傅里叶分解计算方程，而傅里叶系数数目太低就不能保证精度，因此计算时间较长。此外，傅里叶级数法使示功图平滑化，即不接近于实际数据，有限差分解可以克服此问题。○3 没有考虑多级管柱节箍的影响。
因此本文对其做出如下改进：○1 用三次样条插值法模拟抽油杆柱轴线的具体编程算法；○2 对定向井抽油杆柱的受力进行分析,建立波动方程；○3 在同级杆柱内运用显式差分格式,在组合杆级边界节点采用变步长有限差分格式的混合差分法求解波动方程。○4 考虑多级管柱节箍的影响。并给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程，包括：原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法； 利用附件 1、附件 2 的数据重新进行计算；对计算结果与问题二的计算结果进行比较，发现新建模型更精确；不仅适用于直井，也适用于斜井；画出的泵功图不平滑，更接近实际数据。
针对问题四(2)，本文研究一种能够定期校验并修正阻尼系数的方法。提出一种迭代计算阻尼系数的算法，利用已有地面示功图数据以及泵功图计算算法， 可得到更加合理的阻尼系数。首先求出一个 C 的初值，然后代入波动方程求井下示功图，再根据求得的功图对一组带阻尼的波动方程进行数值积分，从而导出与示功图参数有关的阻尼系数公式，反复迭代采用特定的收敛条件即可求出准确的阻尼系数。根据此方法，使用 Matlab 软件编程计算，得到结果。一级杆
C=1.8498，三级杆的 C= 0.6701，根据得到的泵功图对比验证，迭代法得到的 C
值更加精确。使用这种方法还可以校验各种阻尼公式对油田的适应性的好坏。
关键词：有杆抽油 Gibbs 波动方程 泵功图 有效冲程法 液量迭代法 自动诊断故障系统 有限差分法 迭代法 阻尼系数
目 录
1 问题的提出............................................................................................................... - 5 -
2 模型的初始假设........................................................................................................ - 5 -
3 问题一模型的建立和求解.......................................................................................... - 6 -
3.1 问题分析........................................................................................................ - 6 -
3.2 模型建立........................................................................................................ - 6 -
3.2.1 数据处理与分析.................................................................................... - 6 -
3.2.2 简化为简谐运动时的悬点运动规律........................................................ - 6 -
3.2.3 简化为曲柄滑块机构时的悬点运动规律................................................. - 7 -
3.2.4 精确模型求解时的悬点运动规律............................................................ - 8 -
3.3 模型求解与计算结果..................................................................................... - 10 -
3.4 模型评价与推广........................................................................................ - 13 -
4 问题二模型的建立与求解........................................................................................ - 13 -
4.1 问题分析...................................................................................................... - 13 -
4.2 假设条件...................................................................................................... - 14 -
4.3 模型的建立................................................................................................... - 14 -
4.3.1 Gibbs 方程的建立................................................................................. - 14 -
4.3.2 边界条件............................................................................................. - 15 -
4.3.3 初始条件............................................................................................. - 16 -
4.3.4 原始数据处理...................................................................................... - 17 -
4.3.5 求解算法............................................................................................. - 17 -
4.4 模型的计算与流程求解................................................................................. - 18 -
4.5 模型的评价与推广........................................................................................ - 21 -
5 问题三(1)模型的建立与编程求解............................................................................. - 21 -
5.1 问题分析...................................................................................................... - 21 -
5.2 模型一：有效冲程法..................................................................................... - 22 -
5.2.1 功图量油原理...................................................................................... - 22 -
5.2.2 有效冲程的确定方法........................................................................... - 23 -
5.2.3 模型应用实例...................................................................................... - 24 -
5.3 模型二：改进的液量迭代法.......................................................................... - 27 -
5.3.1 示功图的预处理.................................................................................. - 27 -
5.3.2 改进模型的求解.................................................................................. - 28 -
5.3.3 模型应用实例...................................................................................... - 30 -
6 问题三(2)模型的建立与编程求解............................................................................. - 30 -
- 3 -
6.1 问题分析...................................................................................................... - 30 -
6.2 思路分析与模型建立..................................................................................... - 30 -
6.2.1 思路分析............................................................................................. - 30 -
6.2.2 故障特征知识...................................................................................... - 31 -
6.2.3 泵功图的预处理.................................................................................. - 32 -
6.2.4 泵功图的预处理.................................................................................. - 33 -
6.2.5 模型建立............................................................................................. - 33 -
6.3 计算结果...................................................................................................... - 37 -
6.4 模型的评价与推广........................................................................................ - 39 -
7 问题四(1)模型的建立与求解.................................................................................... - 40 -
7.1 问题分析...................................................................................................... - 40 -
7.2 模型的建立................................................................................................... - 40 -
7.2.1 思路分析............................................................................................. - 40 -
7.2.2 边界条件............................................................................................. - 40 -
7.2.3 初始条件............................................................................................. - 40 -
7.2.4 求解算法............................................................................................. - 41 -
7.3 计算结果....................................................................................................... - 43 -
7.4 模型的评价与推广........................................................................................ - 45 -
8 问题四(2)模型的建立与编程求解............................................................................. - 45 -
8.1 问题分析...................................................................................................... - 45 -
8.2 思路分析与模型建立...................................................................................... - 47 -
8.2.1 思路分析............................................................................................. - 47 -
8.2.2 数据分析与处理.................................................................................. - 47 -
8.2.3 模型建立............................................................................................. - 47 -
8.3 模型的求解................................................................................................... - 50 -
8.4 模型的评价与推广........................................................................................ - 50 -
参考文献.................................................................................................................... - 52 -
