目录

1 背景

2李对称的国内外研究现状及前景

2.1国外研究现状

2.2国内研究现状

2.3李对称前景

3 李对称研究的基本思想

它的系数由

4 李对称研究的进展情况

5 结论

 非线性PDE的李对称分析及其研究

1 背景

    随着科学技术的飞速发展，现代科学研究的核心己逐步从线性转向非线性。非线性微分方程是数学学科中一个极其重要的领域，它不仅仅是数学和其它学科联系的重要桥梁之一，也是一些基础学科发展的基本源泉之一。在实际的科学研究中，非线性微分方程在物理、生物、化学、通讯、经济等学科都有着广泛的应用，对其的研究使得人们更好地认识了自然界中事物发展的规律和机制，特别是对非线性系统的研究，促进了人们主动改造自然的发展进程。同时，对非线性微分方程的深入研究，也推动了一些基础的学科的发展，比如基础数学、理论物理、计算机理论学科等也都随之发生了许多重大的变化。

非线性科学是现代科学的核心，非线性可以产生一些本质上全新的现象，而这些现象不可能由从线性化模型出发的微扰理论得到，用非线性模型来研究客观世界是科学发展的必然。其中，非线性波方程是非线性理论的重要分支，也是非线性科学的前沿领域和研究热点之一。无论非线性波方程还是其它的非线性模型，最终的数学表示通常都是偏微分方程(组)，尤其是非线性偏微分方程(组)。因此，从数学的角度来看，非线性科学的研究实际上就是对非线性偏微分方程(组)的研究：应用数学技巧构造适当的变换以简化方程并求出方程的精确解。

由于非线性偏微分方程的复杂性，虽然出现了很多求解方法，但是，到目前为止仍然没有一个统一的方法去解决所有的非线性微分方程。

目前，李对称法又称为经典李对称法是众多求解非线性微分方程常用方法之一，此方法在微分方程精确解的求解过程中有着重要的作用，它最早是由Sophus Lie(1842-1899)在十九世纪末研究微分方程时提出的，他最先开创了保持微分方程系统不变的连续变换群的研究。首先，运用李对称分析法得到方程的向量场或对称然后，利用相似约化将所研究的偏微分方程化为常微分方程。这一步从某种程度上可以说实现了实质性的转化，即把一个复杂的偏微分方程，包括各种非线性的、变系数的偏微分方程转化为一个常微分方程^[1]。接着求出了常微分方程的解，相应的偏微分方程的解也就得到了。这就是利用对称分析研究偏微分方程精确解的主要思路。当然,对称分析的作用远不止此，它与系统的可积性的研究还有着密切的关系，对称是系统本质属性的一种描述和刻画，它在偏微分方程与可积系统的研究中有着重要的意义与作用。

2李对称的国内外研究现状及前景

2.1国外研究现状

19世纪末，李(Sophus Lie)在伽罗瓦(Galois)和阿贝尔(Abel)工作的启发下，引进了李群，也称不变群或对称群。其核心思想——无穷小分析方法已被广泛应用到非线性科学的研究。李群理论的出现扩充了非线性微分方程的求解方法，特别是使得一些较难的偏微分方程的求解得到了处理。同时 Lie证明了保持方程不变的对称群不但可以实现对常微分方程的降阶和求解，而且在偏微分方程上，它也可以通过特征方法将偏微分方程(PDEs)化为常微分方程(ODEs)，从而实现了PDE的求解。从此，开创了李群理论在偏微分方程中的应用。

从1950年开始，李群理论在偏微分方程中的应用得到了突飞猛进的发展。Morgan^[2]、Birkhoff^[3]证明了李对称群可以降低原方程的维数，Ovsiannikov给出了无穷小变换法，利用无穷小变换保持方程的不变性，获得了非线性偏微分方程的单参数变换群、群不变解等。这一时期，经典李方法被广泛应用到了广义KdV方程、非线性波方程^[4]等。

由于经典李方法的限制很强，它要求整个解空间在对称群的变换下保持不变，导致一些方程可能没有对称或者非平凡的对称，这使得李对称法在微分方程的应用上出现了不足，为了解决这个问题，1969年Bluman和Cole推广了李群方法，提出非经典李群方法(即条件对称）^[5]。1977年Olver证明了如何利用递推算子来产生偏微分方程的无穷多个对称。1980年Olver又发现KdV方程存在以方程的解u及自变量(x,t)组合成的两个对称^[6]。1982年Fokes、Fuchssteiner和Chen等人分别利用不动点方程得到了KdV方程更多新的对称和李代数结构。

但是由非经典对称法得到的决定方程是非线性的，这给求解带来很大的困难。针对这种情况，1989年Clarkson和Kruskal提出了