目录

1 选题的背景和意义

1.1 选题的背景

1.2 国内外研究现状及发展趋势

2 研究的基本内容

2.1 基本框架

2.2 研究的重点和难点

2.3 拟解决的关键问题

3 研究的方法及措施

它的系数由

4 预期成果及创新

5 研究工作进度计划

3、论文写作及答辩阶段

参考文献

1 选题的背景和意义

1.1 选题的背景

 随着科学技术的飞速发展，现代科学研究的核心己逐步从线性转向非线性。非线性科学是现代科学的核心，非线性可以产生一些本质上全新的现象，而用非线性模型来研究客观世界是科学发展的必然。其中，非线性波方程是非线性理论的重要分支，也是非线性科学的前沿领域和研究热点之一。无论非线性波方程还是其它的非线性模型，最终的数学表示通常都是偏微分方程(组)，尤其是非线性偏微分方程(组)。因此，从数学的角度来看，非线性科学的研究实际上就是对非线性偏微分方程(组)的研究：应用数学技巧构造适当的变换以简化方程并求出方程的精确解。

由于非线性偏微分方程的复杂性，虽然出现了很多求解方法，但是，到目前为止仍然没有一个统一的方法去解决所有的非线性微分方程。

目前，李对称法又称为经典李对称法是众多求解非线性微分方程常用方法之一，此方法在微分方程精确解的求解过程中有着重要的作用,它最早是由Sophus Lie(1842-1899)在十九世纪末研究微分方程时提出的，其核心思想——无穷小分析方法已被广泛应用到非线性科学的研究。李群理论的出现扩充了非线性微分方程的求解方法，特别是使得一些较难的偏微分方程的求解得到了处理。同时 Lie证明了保持方程不变的对称群不但可以实现对常微分方程的降阶和求解，而且在偏微分方程上，它也可以通过特征方法将偏微分方程(PDEs)化为常微分方程(ODEs)，从而实现了PDE的求解^[1]。

利用对称分析研究偏微分方程精确解的主要思路：首先，运用李对称分析法得到方程的向量场或对称。然后，利用相似约化将所研究的偏微分方程化为常微分方程。这一步从某种程度上可以说实现了实质性的转化，即把一个复杂的偏微分方程，包括各种非线性的、变系数的偏微分方程转化为一个常微分方程。接着求出了常微分方程的解，相应的偏微分方程的解也就得到了。